闭包 Closure

例如，假设我们有以下函数依赖性：

A -> B
B -> C
那么，属性集合 {A} 的闭包就是 {A, B, C}，因为 A 可以决定 B，B 可以决定 C。

闭包的概念在数据库设计（特别是在进行范式分解）中非常重要，因为它可以帮助我们理解和使用函数依赖性。

范式

第一范式要求数据库表的每一列都是不可分割的原子数据项。换句话说，每一列都应该是最小的数据单位，不能再被分割。

例如，一个违反第一范式的表可能如下：

ID	Name
1	张三, 李四

在这个例子中，“Name” 列包含了两个名字，违反了第一范式。应该将其分割为两行：

ID	Name
1	张三
2	李四

第二范式要求数据库表满足第一范式的基础上，非主键列完全依赖于主键（如果主键是组合键，则必须完全依赖于整个组合键）。

例如，一个违反第二范式的表可能如下：

ID	Course	Teacher
1	Math	张三
1	English	李四

在这个例子中，“Teacher” 列只依赖于 “Course” 列，而不是整个主键 “ID, Course”，违反了第二范式。应该将其分割为两个表：

学生表：

ID	Course
1	Math
1	English

课程表：

Course	Teacher
Math	张三
English	李四

第三范式要求数据库表满足第二范式的基础上，非主键列必须直接依赖于主键，不能存在传递依赖。

例如，一个违反第三范式的表可能如下：

ID	Course	Teacher	Teacher_Age
1	Math	张三	40
2	English	李四	35

在这个例子中，“Teacher_Age” 列依赖于 “Teacher” 列，存在传递依赖，违反了第三范式。应该将其分割为两个表：

学生表：

ID	Course	Teacher
1	Math	张三
2	English	李四

教师表：

Teacher	Age
张三	40
李四	35

BCNF 要求数据库表满足第三范式的基础上，对任何的决定因素 X，X 必须是候选键。

例如，一个违反 BCNF 的表可能如下：

ID	Course	Teacher
1	Math	张三
2	Math	李四

在这个例子中，“Teacher” 列是 “Course” 列的决定因素，但 “Course” 列不是候选键，违反了 BCNF。应该将其分割为两个表：

学生表：

ID	Course
1	Math
2	Math

教师表：

Course	Teacher
Math	张三
Math	李四

第四范式要求数据库表满足 BCNF 的基础上，表中不能存在多值依赖。

例如，一个违反第四范式的表可能如下：

ID	Course	Hobby
1	Math	Reading
1	Math	Swimming

在这个例子中，“Course” 和 “Hobby” 列存在多值依赖，违反了第四范式。应该将其分割为两个表：

学生表：

ID	Course
1	Math

兴趣表：

ID	Hobby
1	Reading
1	Swimming